Question

【題目】在幾何體中，如圖，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由，得到平面，平面，根據平面平面，由面面平行的性質定理得到，進而得到四邊形為平行四邊形，再根據平面，得到，由，得到，同理得到，由線面垂直的判定定理得到平面得證.

（2）由（1）可知，直線、、兩兩垂直.以為坐標原點，以、、為坐標軸建立的空間直角坐標系，設，則，，分別求得平面和平面的一個法向量，代入求解.

（1）證明：由，

可知、、、四點確定平面，、、、四點確定平面.

∵平面平面，且平面平面，

平面平面，

∴，四邊形為平行四邊形.

同理可得，四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形.

∵平面，平面，

∴，

而，于是.

由，，

則.

由，平面，平面.

∴平面，而平面，

∴.

（2）由（1）可知，直線、、兩兩垂直.以為坐標原點，以、、為坐標軸建立的空間直角坐標系.

不妨設，則，.

∴，，，，，

則，，，

設平面的一個法向量為，

則，則，

令，則，，

∴平面的一個法向量為.

設平面的一個法向量為，

則，則，

令，則，，

∴平面的一個法向量為.

∴二面角的余弦值為.