Question

已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個實數根．
（1）是否存在實數k，使（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=

1

2

成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（2）求使

x1

x2

+

x2

x1

-2的值為整數的實數k的整數值；
（3）若k=-2，λ=

x1

x2

，試求λ的值．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數的關系,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由于方程有兩個實數根，那么根據根與系數的關系可得x₁+x₂=1，x₁x₂=

k+1

4k

，然后把x₁+x₂、x₁x₂代入（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=

1

2

中，進而可求k的值．
（2）根據

x1

x2

+

x2

x1

-2=

4

k+1

-4 為整數，且k＜0，求得整數k的值．
（3）由k=-2，λ=

x1

x2

，x₁+x₂=1，x₁x₂=

k+1

4k

=

1

8

，可得

λ

(λ+1)2

=

1

8

，由此求得λ 的值．

解答： 解：（1）∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個實數根，
∴△=b²-4ac=16k²-4×4k（k+1）=-16k≥0，且4k≠0，解得k＜0．
∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個實數根，
根與系數的關系可得x₁+x₂=1，x₁x₂=

k+1

4k

，
∴（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=2x₁²-4x₁x₂-x₁x₂+2x₂²=2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=2×1²-9×

k+1

4k

=2-

9(k+1)

4k

，
令2-

9(k+1)

4k

=

1

2

，求得k=-3．
（2）由于

x1

x2

+

x2

x1

-2=

x12+x22

x1•x2

-2=

(x1+x2)2-2x1•x2

x1•x2

-2=

4

k+1

-4 為整數，且k＜0，
∴k=-2，-3，-5．
（3）∵k=-2，λ=

x1

x2

，x₁+x₂=1，∴λx₂+x₂=1，x₂=

1

λ+1

，x₁=

λ

λ+1

．
再根據x₁x₂=

k+1

4k

=

1

8

，可得

λ

(λ+1)2

=

1

8

，求得λ=3±2

2

．

點評：本題考查了二次函數的性質，二次函數的判別式、根與系數的關系，解題的關鍵是注意數值的正負號的變化關系、以及完全平方公式的使用，屬于中檔題．