Question

如圖所示，某幾何體的直觀圖、側視圖與俯視圖如圖所示，正視圖為矩形，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求平面BFD與平面ABE所成的銳二面角的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接AC，交BD于點G，由線面垂直得CE⊥BF，由已知條件推導出FG∥AE，由此能證明AE∥平面BFD．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面BFD與平面ABE所成的銳二面角的大小．

解答： （1）證明：連接AC，交BD于點G，
∵ABCD為矩形，∴G為AC的中點，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF，
由三視圖知BC=BE=2，∴F是EC的中點，
連接FG，得FG∥AE，
∵AE不包含于平面BFD，FG?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意知B（2，0，0），F（1，0，1），D（0，2，2），
則

FB

=（1，0，-1），

BD

=(-2，2，2)，
設平面FBD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • FB =x-z=0 n • BD =-2x+2y+2z=0

，
令x=1，得

n

=(1，0，1)，
又平面ABE的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

1× 2

=

2

2

，
∴平面BFD與平面ABE所成的銳二面角為

π

4

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查銳二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．