Question

【題目】已知函數f（x）=2x+a2﹣x ， 其中常數a≠0．
（1）當a=1時，f（x）的最小值；
（2）當a=256時，是否存在實數k∈（1，2]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）對任意x∈R恒成立？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=2x+ ≥2 =2，

當且僅當 ，即x=0時取等號

（2）解：當k∈（1，2]時，0＜k﹣cosx≤3，0＜k2﹣cos2x≤4，

當a=256時，f（x）=2x+2562﹣x，

由復合函數的單調性知，f（x）在（0，4）上是減函數，要使不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）對任意x∈R恒成立，只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x，即cos2x﹣cosx≤k2﹣k ①

設g（x）=cos2x﹣cosx，則g（x）的最大值為2．

要使得①式成立，必須k2﹣k≥2，即k≥2或k≤﹣1

∴在區間（1，2]上存在k=2，使得原不等式對任意的x∈R恒成立

【解析】（1）利用基本不等式a+b≥2 （a＞0，b＞0）直接可求得最小值；（2）復合函數的單調性知，f（x）在（0，4）上是減函數，要使不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）對任意x∈R恒成立，只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x，即cos2x﹣cosx≤k2﹣k ①；設g（x）=cos2x﹣cosx，則g（x）的最大值為2．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．