Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）且滿足f′（x）＜f（x）對(duì)于x∈R恒成立，則（　　）

• A、f（-2013）＞e^-2013f（0），f（2013）＞e²⁰¹²f（1）
• B、f（-2013）＜e^-2013f（0），f（2013）＜e²⁰¹²f（1）
• C、f（-2013）＞e^-2013f（0），f（2013）＜e²⁰¹²f（1）
• D、f（-2013）＜e^-2013f（0），f（2013）＞e²⁰¹²f（1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件f′（x）＞f（x），構(gòu)造函數(shù)F（x）=

f(x)

ex

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)F（x）=

f(x)

ex

，
∵f′（x）＜f（x）對(duì)于x∈R恒成立，
∴F′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，
∴F（x）在R上遞減，
且F（0）=f（0），
∴F（-2013）=

f(-2013)

e-2013

＞F（0）=f（0），
∴f（-2013）＞e^-2013f（0），
又F（1）=

f(1)

e

，F(xiàn)（2013）=

f(2013)

e2013

，
∴F（2013）＜F（1），
∴f（2013）＜e²⁰¹²f（1），
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用條件構(gòu)造函數(shù)F（x）=

f(x)

ex

是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用