Question

已知f（x）=alnx+

1

2

x2，若對(duì)任意不相等的兩個(gè)正數(shù)x₁，x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（0，1）
• D、（0，1]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先確定f（x）=alnx+

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2

x2在（0，+∞）上單增，再利用導(dǎo)數(shù)，可得a≥-x²恒成立，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)x₁＜x₂∈（0，+∞）
∴x₁-x₂＜0
∵（（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）=alnx+

1

2

x2在（0，+∞）上單增，
∴f′（x）=

a

x

+x＞0恒成立，
∴a＞-x²恒成立，
∴a≥-x²_max，
∴a≥0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞），
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定f（x）在（0，+∞）上單增是關(guān)鍵．