Question

已知點A（-1，0），B（1，-1），拋物線C：y²=4x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M，P，直線MB交拋物線C于另一點Q．
（I）若向量

OM

與

OP

的夾角為

π

4

，求△POM的面積；
（Ⅱ）證明直線PQ恒過一個定點．

Answer 1

分析：（I）設點p，M，A三點共線進而可知AM和PM的斜率相等求得y₁y₂=4進而根據向量積的運算和兩向量的夾角，求得|

OM

|•|

OP

|•cos45°的值，進而利用三角形面積公式求得三角形POM的面積．
（II）設出Q的坐標，根據M，B，Q共線，利用BQ和QM的斜率相等利用點的坐標求得y₁y₃+y₁+y₃+4=0．，把y₁y₂=4代入求得y₂和y₃的關系式，表示出PQ的斜率，進而可表示出直線PQ的方程，進而利用4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0求得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1），進而可推斷出直線PQ過定點．

解答：解：（I）設點p，M，A三點共線，∴k_AM=k_PM，
即

y1

y 2 1 4 +1

=

y1-y2

y 2 1 4 - y 2 2 4

，即

y1

y 2 1 +4

=

1

y1+y2

，∴y₁y₂=4，
∴

OM

•

OP

=

y 2 1

4

•

y 2 2

4

+y1y2=5．
∵向量

OM

與

OP

的夾角為45°，∴|

OM

|•|

OP

|•cos45°=5，
∴S△POM=

1

2

|

OM

|•|

OP

|•sin45°=

5

2

．
（II）設點Q(

y 2 3

4

，y₃），
∵M，B，Q三點共線，∴k_BQ=k_QM，
即

y3+1

y 2 3 4 -1

=

y1-y3

y 2 1 4 - y 2 3 4

，即

y3+1

y 2 3 -4

=

1

y1+y3

，
∴（y₃+1）（y₁+y₃）=y₃²-4，即y₁y₃+y₁+y₃+4=0．
∵y₁y₂=4，即y1=

4

y2

，∴

4

y2

•y3+

4

y2

+y3+4=0，
即4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0．（*）∵kPQ=

y2-y3

y 2 2 4 - y 2 3 4

=

4

y2+y3

，
∴直線PQ的方程是y-y2=

4

y2+y3

(x-

y 2 2

4

)，
即（y-y₂）（y₂+y₃）=4x-y₂²，即y（y₂+y₃）-y₂y₃=4x．
由（*）式，-y₂y₃=4（y₂+y₃）+4，代入上式，得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1）．
由此可知直線PQ過定點E（1，-4）．

點評：本題主要考查了拋物線的應用，平面解析幾何的基礎知識．考查了學生分析推理和基本的運算能力．