【題目】已知數列{an}滿足
，且
．
(1)求證：數列
是等差數列，并求出數列
的通項公式；
(2)求數列的前
項和
.
【答案】(1) an＝(2n－1)2n－1;(2) Sn＝(2n－3)2n＋3.
【解析】
（1）根據等差數列的定義，判斷數列
是等差數列，并寫出它的通項公式以及{an}的通項公式；
（2）根據數列{an}的前n項和定義，利用錯位相減法求出Sn；
(1)證明：因為an＝2an－1＋2n，所以
＝
＝
＋1，
即－＝1，所以數列
是等差數列，且公差d＝1，其首項
＝
，所以＝＋(n－1)×1＝n－，解得an＝
×2n＝(2n－1)2n－1.
(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②
①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n
＝1＋
－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.
所以Sn＝(2n－3)2n＋3.
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【題目】有下列四個命題：
①若p是q的充分不必要條件，則￢p是￢q的必要不充分條件；
②若命題p：x≥0，x2+1＞0，則￢p：x0＜0，x02+1≤0；
③在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要條件；
④命題：當1＜t＜4時方程
1表示焦點在x軸上的橢圓，為真命題．
其中真命題的序號是_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩臺機床生產同一型號零件，記生產的零件的尺寸為
，相關行業質檢部門規定：若
，則該零件為優等品；若
，則該零件為中等品；其余零件為次品.現分別從甲、乙機床生產的零件中各隨機抽取50件，經質里檢測得到下表數據：
尺寸 |
|
|
|
|
|
|
甲機床零件頻數 | 2 | 3 | 20 | 20 | 4 | 1 |
乙機床零件頻數 | 3 | 5 | 17 | 13 | 8 | 4 |
（Ⅰ）設生產每件產品的利潤為：優等品3元，中等品1元，次品虧本1元.若將頻率視為概率，試估算甲機床生產一件零件的利潤的數學期望；
（Ⅱ）根據已知條件完成下面的列聯表，并據此數據回答：是否有
的把握認為“零件優等與否和所用機床有關”？
甲機床 | 乙機床 | 合計 | |
優等品 | |||
非優等品 | |||
合計 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖l，在邊長為2的菱形
中，
，
于點
，將
沿
折起到
的位置，使
，如圖2.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在線段
上是否存在點
，使平面
平面
？若存在，求
的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經過點
離心率
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）經過橢圓左焦點
的直線(不經過點
且不與
軸重合)與橢圓交于
兩點，與直線
:
交于點
，記直線
的斜率分別為
.則是否存在常數
，使得向量
共線？若存在求出的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為弘揚民族古典文化，市電視臺舉行古詩詞知識競賽，某輪比賽由節目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答，回答正確將給該選手記正10分，否則記負10分．根據以往統計，某參賽選手能答對每一個問題的概率均為
；現記“該選手在回答完
個問題后的總得分為
”．
（1）求
且
（
）的概率；
（2）記
，求
的分布列，并計算數學期望
．
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