Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，求函數在上的零點個數（為自然對數的底數）；

（Ⅱ）若恰有一個零點，求的取值集合；

（Ⅲ）若有兩零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1（2）{1}（3）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求出，再結合單調性及函數零點的概念可解得零點的個數；

（Ⅱ）求出并求出極值點，結合單調性，討論，及時分別對a進行討論得出的取值集合；

（Ⅲ）先證.根據a建立等式關系，再結合換元法，用t表示，再建立新函數，根據的單調性及最值可證得，再證明，利用，根據可解出（記）.，結合（Ⅰ）可知，建立新函數，再利用導數結合的單調性可得出、的不等式，整理可證的結論.

（Ⅰ）由題設，，故在上單調遞減.

所以在上至多只有一個零點.

又，故函數在上只有一個零點.

（Ⅱ），令得.

當時，.在上單調遞減；

當時，.在上單調遞增.

故.

（1）當，即時，因為最大值點唯一，故符合題設；

（2）當，即時，恒成立，不合題設；

（3）當，即時，一方面，；另一方面，（易證：時，），于是有兩個零點，不合題設.

綜上，的取值集合為.

（Ⅲ）先證.

依題設，有，于是.

記，則，故.

于是.

記函數.

因為，故在上單調遞增.

于是時，.

又，所以.

再證：.

因為，故，也是的兩零點.

由，得（記）.

仿（1）知是的唯一最大值點，故有.

記函數，則，故在上單調遞增.

故當時，；當時，.

于是

整理，得，

即.

同理，.

故，

，

于是. 綜上，.