【題目】已知命題
函數
在
上單調遞增；命題
函數
至少有1個零點.
（1）若
為假，求實數
的取值范圍；
（2）若
為假，
為真，求實數的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）因為
為假，則命題
為真.令
，分離參數并構造函數
，求得
，由的符號判斷函數
的單調性與極大值.結合函數圖像即可求得
的取值范圍；
（2）先求得當命題
為真命題時的取值范圍.再由
為假，
為真可知
一真一假.分類討論真假、假真，即可求得的取值范圍.
（1）依題意若為假，則命題為真，
令
，
解得
，
令，則
，
故當
時，
，
當
，
，
作出函數圖象如下所示，
所以當
時，取得極大值，為
由圖像可知若至少有一個零點，則
，
即；
（2）當命題為真時，函數
在
上單調遞增，
顯然
時，不符合題意，
由二次函數性質知
解得
；
若為假，為真，則一真一假：
若真假，則實數滿足
則
；
若假真，則實數滿足
則
；
綜上所述，實數的取值范圍
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，設傾斜角為
的直線的參數方程為
為參數）．在以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸建立的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
，直線與曲線相交于不同的兩點
，
．
（1）若
，求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若
為
與
的等比中項，其中
，求直線的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面
平面
，
，四邊形為平行四邊形，
，
為線段
的中點，點
滿足
.
（Ⅰ）求證：直線
平面
；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）若平面
平面
，求直線
與平面所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
（
）的左、右焦點為
，右頂點為
，上頂點為
．已知
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設
為橢圓上異于其頂點的一點，以線段
為直徑的圓經過點
，經過原點
的直線
與該圓相切，求直線
的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，點
滿足
，記點的軌跡為
.斜率為
的直線
過點
，且與軌跡相交于
兩點.
（1）求軌跡的方程；
（2）求斜率的取值范圍；
（3）在
軸上是否存在定點
，使得無論直線繞點怎樣轉動，總有
成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，
，AD＝CD＝
，O是AC的中點，E是BD的中點．
（1）證明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
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