Question

【題目】如圖l，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)由，可得，結(jié)合可得到平面，由此得，結(jié)合利用線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量，結(jié)合平面的法向量為，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（3）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)滿足條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系，通過(guò)兩平面法向量的數(shù)量積為零來(lái)確定相應(yīng)的參數(shù)值，進(jìn)而得以確定存在性問(wèn)題.

（1）因?yàn)?/span>，，，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以平面BCDE.

（2）以E為原點(diǎn)，分別以EB，ED，為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量，

由得，

令，得，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面的法向量，

，

因?yàn)樗�求二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

（3）假設(shè)在線段BD上存在一點(diǎn)P，使得平面平面，

設(shè)，，則，

所以，

所以，，

設(shè)平面的法向量，

由,得，

令，得,

因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以，解得，

所以在線段BD上存在點(diǎn)P，使得平面平面，且.