Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且以原點為圓心，以短軸長為直徑的圓過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過點的直線與橢圓交于不同的兩點，且與圓沒有公共點，設為橢圓上一點，滿足（為坐標原點），求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出的值，利用橢圓的離心率公式得到，的關系，再利用橢圓本身三個參數的關系求出，的值，將，的值代入橢圓的方程即可；

（2）設的方程代入橢圓方程，利用確定，，三點之間的關系，利用點在橢圓上，建立方程，從而可求實數取值范圍．

（1）以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切

根據點到直線距離公式可得：

橢圓的離心率為

橢圓C的方程為：

（2）由題意直線斜率不為，

設直線：

得

由得

，

設，

由韋達定理

點在橢圓上

得①

直線與圓沒有公共點，則，

.②

由①②可得：