Question

【題目】如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形，且.

（1）求證：；

（2）若，，直線與平面所成角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）過作交于，連接，由平面平面，得平面，因此.證明平面，即可證明結論；

（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，代入向量的夾角公式，即可得答案；

（1）過作交于，連接，由平面平面，得平面，因此.

，，，，，

由已知得為等腰直角三角形，

因為，又，，

平面，.

（2），平面，平面，平面，

平面平面，.

由（1）可得，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題設可得，進而可得，，，，，.

設平面的法向量，則，，可取.

設平面的法向量，則，，可取.

則.

二面角的余弦值為.