Question

【題目】如圖，三棱錐中，是等邊三角形，是線段的中點，是線段上靠近的四等分點，平面平面.

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點為，連接，由是等邊三角形，可得，，結合平面平面，易證平面，從而可證明結論；

（2）連接，易知，，兩兩垂直，以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，然后分別求出平面、的法向量，設二面角為，則，可求出答案.

（1）如圖，取的中點為，連接.

因為是等邊三角形，所以.

由題意知，從而.

因為平面平面，平面平面，，

所以平面.

又平面，所以.

（2）如圖，連接.

因為，所以.

又平面平面，平面平面，，

所以平面.所以，，兩兩垂直.

分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為，為等邊三角形，

所以，所以，，，

從而，.

設平面的法向量.

由，得，即.可取.

取平面的一個法向量.

設二面角為，則.

由題意可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.