Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且與交于，兩點，已知點的極坐標為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程，并求的值；

（2）若矩形內接于曲線且四邊與坐標軸平行，求其周長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的普通方程為；直線的直角坐標方程為；（2）

【解析】

（1）結合參數方程、極坐標方程及普通方程間的關系，轉化即可求出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；求出直線的參數方程的標準形式，并代入曲線的普通方程中，得到關于的一元二次方程，結合可求出答案；（2）設點在第一象限，且，，可知矩形的周長為，利用三角函數的性質求最大值即可.

（1）依題意，得點的直角坐標為，曲線的普通方程為.

由直線，得其直角坐標方程為.

所以直線的參數方程為（為參數），代入中，

可得，所以.

（2）不妨設點在第一象限，且，.

由橢圓的對稱性可知，矩形的周長為.

而，所以當時，矩形的周長取最大值，最大值為.