Question

【題目】某校高三共有900名學生，高三模擬考之后，為了了解學生學習情況，用分層抽樣方法從中抽出若干學生此次數學成績，按成績分組，制成如下的頻率分布表：

組號	第一組	第二組	第二組	第四組
分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數	6	4	22	20
頻率	0.06	0.04	0.22	0.20
組號	第五組	第六組	第七組	第八組
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數	18	a	10	5
頻率	b	0.15	0.10	0.05

（1）若頻數的總和為c，試求a，b，c的值；
（2）為了了解數學成績在120分以上的學生的心理狀態，現決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學生，在這6名學生中又再隨機抽取2名與心理老師面談，令第七組被抽中的學生數為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望；
（3）估計該校本次考試的數學平均分．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為頻率和為1，所以b=0.18，

又因為頻率= ，所以c=100，a=15．

（2）解：第六、七、八組共有30個樣本，用分層抽樣方法抽取6名學生，則每個學生被抽中的概率均為 ．

所以從第七組中抽取的樣本數為 ×10=2．

所以隨機變量ξ的可能取值為0，1，2．

P（ξ=0）= = ，

P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ．

∴隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

所以E（ξ）=0× +1× +2× = ．

（3）解：根據頻率分布表估計該校本次考試的數學平均分為：

75×0.06+85×0.04+95×0.22+105×0.2+115×0.18+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110．

【解析】（1）由頻率= ，能求出a，b，c的值．（2）第六、七、八組共有30個樣本，用分層抽樣方法抽取6名學生，則每個學生被抽中的概率均為 ．從第七組中抽取的樣本數為 ×10=2．從而隨機變量ξ的可能取值為0，1，2．分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和E（ξ）．（3）根據頻率分布表能估計該校本次考試的數學平均分．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平均數、中位數、眾數的相關知識，掌握⑴平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量；⑵平均數、眾數和中位數都有單位；⑶平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數都有關系，所以最為重要，應用最廣；⑷中位數不受個別偏大或偏小數據的影響；⑸眾數與各組數據出現的頻數有關，不受個別數據的影響，有時是我們最為關心的數據，以及對離散型隨機變量及其分布列的理解，了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．