Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且，.

(1)若數(shù)陣中從第3行開(kāi)始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知，求的值；

(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）160；（2）或.

【解析】

試題（I）由等差數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=a1=1，S5=15．求出數(shù)列的公差后，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)陣中從第三行開(kāi)始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，a9=16，可求出公比，進(jìn)而求出a50的值；

（Ⅱ）由（1）求出Sn的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求出Tn的表達(dá)式，進(jìn)而將不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)法，可得答案．

試題解析：

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，

∴，.

∴，

設(shè)從第3行起，每行的公比都是，且，，，.

，故是數(shù)陣中第10行的第5個(gè)數(shù).

故.

(2)∵，

∴

；

令，

則

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，

∴為遞減數(shù)列，的最大值為.

∴不等式變?yōu)?/span>恒成立，設(shè)，，

則，即，解得或.