【題目】如圖所示，已知多面體
的直觀圖（圖1）和它的三視圖（圖2），
（1）在棱
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求
的值，并證明你的結論；若不存在，說明理由；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）存在，證明見解析，
；（2）
.
【解析】
（1）根據三視圖中的線段長度，判斷
交點的位置，取
靠近
的一個三等分點，進行分析證明并求比值；
（2）建立空間直角坐標系，利用平面法向量的余弦值計算出二面角的余弦值.
（1）連接
，取靠近點的一個三等分點
，連接
，
根據三視圖可知
，所以
，
又因為
，所以
，所以
，
又因為
平面
，
平面，
所以
平面，故存在滿足條件且為靠近點的一個三等分點，
此時；
（2）取
為空間直角坐標系的
軸，建立空間直角坐標系如下圖：
根據三視圖可知：
，
設平面
的一個法向量
，平面
的一個法向量
，
因為
，
，
，
所以
，取
，所以
，
所以
，取
，所以
，
所以
，
根據立體圖形可知二面角
的平面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為.
舉一反三同步巧講精練系列答案
口算與應用題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】交通指數是指交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念性指數值，記交通指數為
，其范圍為
，分別有五個級別：
，暢通；
，基本暢通；
，輕度擁堵；
，中度擁堵；
，嚴重擁堵.在晚高峰時段（
），從某市交通指揮中心選取了市區20個交通路段，依據其交通指數數據繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段的個數；
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段中共抽取6個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數；
(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個，求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，平面
平面，
、
分別為
、
中點，
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在一點
，使
平面
？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的各項排成如圖所示的三角形數陣，數陣中每一行的第一個數
構成等差數列
，
是的前
項和，且
，
.
(1)若數陣中從第3行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，已知
，求
的值；
(2)設
，當
時，對任意
，不等式
恒成立，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：極坐標與參數方程
已知在一個極坐標系中點
的極坐標為
．
（1）求出以
為圓心，半徑長為2的圓的極坐標方程（寫出解題過程）并畫出圖形．
（2）在直角坐標系中，以圓
所在極坐標系的極點為原點，極軸為
軸的正半軸建立直角坐標系，點
是圓
上任意一點， 
， 
是線段
的中點，當點
在圓
上運動時，求點
的軌跡的普通方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）
A. 消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米
B. 以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油
D. 某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系中，動點P到定點F(1,0)的距離比到定直線x=-2的距離小1.
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若直線l與（1）中軌跡C交于A，B兩點，通過A和原點O的直線交直線x=-1于D，求證：直線DB平行于x軸.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為比較甲乙兩地某月12時的氣溫狀況，選取該月5天中12時的氣溫數據（單位:
）制成如圖所示的莖葉圖，考慮以下結論:
①甲地該月12時的平均氣溫低于乙地該月12時的平均氣溫；
②甲地該月12時的平均氣溫高于乙地該月12時的平均氣溫；
③甲地該月12時的氣溫的標準差小于乙地該月12時的氣溫的標準差；
④甲地該月12時的氣溫的標準差大于乙地該月12時的氣溫的標準差.
其中根據莖葉圖能得到的統計結論的編號為（ ）
A.①③B.②③C.①④D.②④
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