Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+x+ ．
（Ⅰ）若a=﹣2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≥a+1在（0，+∞）上恒成立，求a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，f（x）=lnx+x﹣ ，∴f′（x）= ， ∴f′（1）=4，又f（1）=﹣1，
∴所求切線方程為4x﹣y﹣5=0．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a﹣1=lnx+x+ ﹣a﹣1，
則 = ，
①當a≤0時，g′（x）＞0，∴函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
又∵g（1）=0，∴當x∈（0，1）時，g（x）＜0，
故不滿足題意．
②當a＞0時，由g′（x）=0，得x2+x﹣a=0，此方程有唯一正根x0 ， ∴a= ，（*）
當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0 ， +∞）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

∴g（x）min=g（0）= = = ，
要使g（x）≥0對任意正數x恒成立，需且只需g（x）min= ≥0，①
令μ（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，
則 = ，
當x變化時，μ′（x），μ（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
μ′（x）	+	0	﹣
μ（x）	單調遞增	極大值	單調遞減

∴μmax=μ（1）=0，即lnx0﹣x02+x0≤0，②
由①②得lnx0﹣x02+x0=0，∴x0=1，
結合（*）得a= ，
綜上所述，a=2
【解析】（Ⅰ）由已知得f（x）=lnx+x﹣ ，從而f′（x）= ，利用導數的幾何意義能求出切線方程．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a﹣1=lnx+x+ ﹣a﹣1，則 = ，由a≤0和a＞0分類討論，得到要使g（x）≥0對任意正數x恒成立，需且只需g（x）min= ≥0，令μ（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，則 = ，利用導數性質列表討論經，得到lnx0﹣x02+x0≤0，由此能求出a．