Question

過去的2013年，我國多地區遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來每只成本為6元．售價為8元，月銷售5萬只．
（1）據市場調查，若售價每提高0.5元，月銷售量將相應減少0.2萬只，要使月總利潤不低于原來的月總利潤（月總利潤=月銷售總收入-月總成本），該口罩每只售價最多為多少元？
（2）為提高月總利潤，廠家決定下月進行營銷策略改革，計劃每只售價x（x≥9）元，并投入

26

5

（x-9）萬元作為營銷策略改革費用．據市場調查，每只售價每提高0.5元，月銷售量將相應減少

0.2

(x-8)2

萬只．則當每只售價x為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設口罩每只售價最多為x元，根據條件建立不等式，解不等式即可得到結論．
（2）求出利潤函數，利用基本不等式即可求出最值．

解答： 解：設口罩每只售價最多為x元，則月銷售量為（5-

x-8

0.5

×0.2）萬只，
則由已知（5-

x-8

0.5

×0.2）（x-6）≥（8-6）×5，
即

2

5

x2-

53

5

x+

296

5

≤0，即2x²-53x+296≤0，
解得8≤x≤

37

2

，即每只售價最多為18.5元．
（2）下月的月總利潤y=[5-

x-8

0.5

×

0.2

(x-8)2

]•(x-6)-

26

5

(x-9)]（x-6）-

26

5

(x-9)=

2.4-0.4x

x-8

-

1

5

x+

234-150

5

=

-0.4(x-8)-0.8

x-8

-

1

5

x+

84

5

=-[

4

5(x-8)

+

x-8

5

]+

74

5

，
∵x≥9，∴

4

5(x-8)

+

x-8

5

≥2

4 25

=

4

5

，
即=-[

4

5(x-8)

+

x-8

5

]+

74

5

≤-

4

5

+

74

5

=14，
當且僅當

4

5(x-8)

=

x-8

5

，即x=10時取等號．
答：當x=10時，下月的月總利潤最大，且最大利潤為14萬元．

點評：本題主要考查與函數有關的應用問題，根據條件建立方程或不等式是解決本題關鍵，考查學生的閱讀和應用能力，綜合性較強．