Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，平面平面，為等邊三角形，為的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）若是的中點，求證：平面，并求四面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）連結交于點，連結，則先證明即可證明平面，四面體的體積要通過等積法轉化求得，即，而四面體的底面積，高為容易求得.

（1）證明：因為為等邊邊的中點，所以，

又因為在菱形中，，所以為等邊三角形，

又為的中點，所以.而，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）連結交于點，連結，如圖所示.

因為底面為菱形，為中點，為中點，所以，

又平面，所以平面.

故點到平面的距離等于點到平面的距離，即.

由（1）知，平面平面，所以底面，

因為等邊的邊長為2，所以.

又因為為中點，所以點到底面的距離為，

易知為邊長為2的等邊三角形，所以三棱錐的體積為：

.

故所求四面體的體積為.