Question

已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與曲線C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

（1）圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，
設動圓P半徑為R．
∵M在N內，∴動圓只能在N內與N內切，不能是N在動圓內，即：R＜3
動圓P與圓M外切，則PM=1+R，
動圓P與圓N內切，則PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值．
∴P是以M、N為焦點的橢圓．
∵MN的中點為原點，故橢圓中心在原點，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠2）；
（2）證明：聯立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（k²+3）x²+2kmx+m²-12=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=-

2km

k2+3

，x1x2=

m2-12

k2+3

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•

m2-12

k2+3

+km•(-

2km

k2+3

)+m2
=

3m2-12k2

k2+3

．
設右頂點S（2，0），
則

SA

=(x1-2，y1)，

SB

=(x2-2，y2)，
又以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，
∴

SA

•

SB

=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0．
∴

m2-12

k2+3

-2•(-

2km

k2+3

)+4+

3m2-12k2

k2+3

=0，
整理得：（m-k）（m+2k）=0，
∴k=m或k=-

m

2

．
當k=m時，直線l為y=mx+m=m（x+1），直線過定點（-1，0）；
當k=-

m

2

，直線l為y=-

m

2

x+m=m(-

x

2

+1)，直線過定點（2，0），不合題意．
∴直線l過定點（-1，0）．