Question

已知A（-1，0），B（2，0），動點M（x，y）滿足

|MA|

|MB|

=

1

2

，設動點M的軌跡為C．
（1）求動點M的軌跡方程，并說明軌跡C是什么圖形；
（2）求動點M與定點B連線的斜率的最小值；
（3）設直線l：y=x+m交軌跡C于P，Q兩點，是否存在以線段PQ為直徑的圓經過A？若存在，求出實數m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）

(x+1)2+y2

(x-2)2+y2

=

1

2

化簡可得（x+2）²+y²=4．
軌跡C是以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓（3分）
（2）設過點B的直線為y=k（x-2）．圓心到直線的距離d=

|-4k|

k2+1

≤2
∴-

3

3

≤k≤

3

3

，k_min=-

3

3

（7分）
（3）假設存在，聯立方程

y=x+m (x+2)2+y2=4

得2x²+2（m+2）x+m²=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則x₁+x₂=-m-2，x₁x₂=

m2

2

PA⊥QA，∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）+（x₁+m）（x₂+m）=0，
2x₁x₂+（m+1）（x₁+x₂）+m²+1=0得m²-3m-1=0，
m=

3± 13

2

且滿足△＞0．∴m=

3± 13

2

（12分）