Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin²x+sinxcosx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]上的零點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-

3

2

，求函數(shù)g（x）的圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式化簡，令f（x）=0，求得x，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)可得．
（Ⅱ）求得g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)求得函數(shù)的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

-

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，
令f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

=0，求得sin（2x-

π

3

）=-

3

2

，
∴x=kπ或x=kπ-

π

6

，k∈Z，
∵x∈[

π

2

，π]，
∴x=π或

5π

6

．當(dāng)x=π時(shí)，
∴函數(shù)的在區(qū)間上的零點(diǎn)為（π，0），（

5π

6

，0）
（Ⅱ）g（x）=sin（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
故函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
令2x-

π

3

=kπ，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)的對(duì)稱中心為（

kπ

2

+

π

6

，0）（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的對(duì)稱方程，對(duì)稱中心，單調(diào)性，最值能全面掌握．