Question

已知圓C經過點A（1，-1），B（-1，1）且圓心在直線x+y-2=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點M（

1

2

，0）的直線l與圓C相交于E，F兩點．且|EF|=2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）根據圓心在直線x+y-2=0上，設出圓心坐標，設出圓的半徑，得到圓的標準方程，然后把點A，B的坐標代入圓的方程，求解方程組即可得到待求系數，則方程可求；
（Ⅱ）設出直線方程，求出圓心到直線的距離，即可求直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）因為圓心C在直線x+y-2=0上，所以設圓C的圓心C（a，2-a），半徑為r（r＞0），
所以圓的方程為（x-a）²+（y+a-2）²=r²．
因為圓C經過點A（1，-1），B（-1，1），
所以，（1-a）²+（-1+a-2）²=r²，（-1-a）²+（1+a-2）²=r²．
所以a=b=1
所以，圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=4；
（Ⅱ）過點M（

1

2

，0且與x軸垂直的直線被圓C所截的弦長不等于2

3

，
故設直線l的方程為y=k（x-

1

2

），即kx-y-

k

2

=0，
因為|EF|=2

3

，
所以圓心到直線的距離為d=

| k 2 -1|

k2+1

=1，
所以k=0或k=-

4

3

．
所以直線l的方程為y=0或4x+3y-2=0．

點評：本題考查用待定系數法求圓的方程，一般可通過已知條件，設出所求方程，再尋求方程組進行求解．