Question

【題目】設函數的定義域為，如果存在正實數，使得對任意，都有，且恒成立，則稱函數為上的“的型增函數”，已知是定義在上的奇函數，且在時， ，若為上的“2017的型增函數”，則實數的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】∵f(x)是定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=|xa|2a，

∴，

又f(x)為R上的“2017型增函數”，

(1)當x>0時，由定義有|x+2017a|2a>|xa|2a，

即|x+2017a|>|xa|，其幾何意義為到點a小于到點a2017的距離，

由于x>0,故可知a+a2017<0得

當x<0時，

①若x+2017<0，則有|x+2017+a|+2a>|x+a|+2a，

即|x+a|>|x+2017+a|，其幾何意義表示到點a的距離小于到點a2017的距離，

由于x<0,故可得aa2017>0,得；

②若x+2017>0，則有|x+2017a|2a>|x+a|+2a，

即|x+a|+|x+2017a|>4a，其幾何意義表示到到點a的距離與到點a2017的距離的和大于4a，

(2)當a0時，顯然成立，當a>0時，由于|x+a|+|x+2017+a||aa+2017|=|2a2017|，

故有|2a2017|>4a,必有20172a>4a,解得，

綜上,對x∈R都成立的實數a的取值范圍是，即： .