Question

【題目】已知函數是自然對數的底數).

(1)求函數的單調區間;

(2)若,當時,求函數的最大值;

(3)若且,求證: .

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增,在上單調遞減.

（2）（3）見解析

【解析】試題分析：(1) 求出， 得增區間， 得減區間；(2)利用導數研究函數的單調性即可求函數的最大值；（3）化簡已知得, 即，然后利用分析法證明原不等式.

試題解析: (1) 的定義域為,且,

令,

在上單調遞增,在上單調遞減.

(2) ,

,

當時, ,,

當時, ,

在上單調遞增,在上單調遞減.

.

(3) , 即.

由(1)知 在上單調遞增,在上單調遞減,且,

則

要證,即證,即證,即證,

即證,由于,即證.

令

恒成立

在遞增, 在恒成立,

原不等式成立.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值、不等式的恒成立，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.