Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）
（1）證明：直線l恒過定點，并判斷直線l與圓的位置關系；
（2）當直線l被圓C截得的弦長最短時，求直線l的方程及最短弦的長度．

Answer 1

【答案】解：（1）直線l的方程：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，
整理得：（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，
∵m∈R，∴，解得x=3，y=1，
即直線l恒過定點D（3，1）
把D點的坐標代入圓C的方程：（3﹣1）2+（1﹣2）2＜25，
所以點D在圓內，直線l經過圓C內的一點D，
故直線l與圓C相交．…（6分）
（2）當直線l垂直于CD時，被截得的弦長最短
由C（1，2），D（3，1）∴，
所以直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的斜率為2，
此時直線l的方程為y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0
又|CD|=，所以，最短弦長為2
所以，直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為2x﹣y﹣5=0，
最短弦長為2
【解析】（1）先化簡直線方程：將m分離出來，列出方程組求出定點的坐標，判斷出定點與圓的位置關系，可得到直線l與圓的位置關系；
（2）當直線l垂直于CD時被截得的弦長最短，求出CD的斜率，由直線垂直的條件求出直線l的斜率，結合定點的坐標求出直線l的方程，由弦長公式求出最短弦的長度．