Question

【題目】已知向量 =（ sin ，1）， =（cos ，cos2 ），f（x）= ．
（1）求函數f（x）的解析式及其單調遞增區間；
（2）將f（x）的圖象向右平移 個單位長度得到g（x）的圖象，若g（x）﹣k≤0在區間[0， ]上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，f（x）= = sin cos +cos2

= sin + cos + = ，

由 得，

，

∴函數f（x）的單調遞增區間是

（2）解：將f（x）的圖象向右平移 個單位長度得到g（x）= 的圖象，

當 時， ，∴ ，

∴ ，

∵g（x）﹣k≤0在區間[0， ]上恒成立，

∴k≥g（x）max= ，

∴實數k的取值范圍是[ ，+∞）．

【解析】（1）利用向量的數量積運算、二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數的增區間求出f（x）單調遞增區間；（2）由三角函數圖象的平移法則求出g（x），由由x的范圍和正弦函數的性質求出g（x）的值域，由條件和恒成立問題轉化為求最值，從而求出實數k的取值范圍．