Question

【題目】己知函數 (其中e為自然對數的底數)， ．

(I)求函數的單調區間；

(II)設，.已知直線是曲線的切線，且函數上是增函數．

(i)求實數的值；

(ii)求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）（1）；（2）.

【解析】試題分析：(I)求導得，討論和即可；

(II) (i)由相切得，解方程即可；(ii)先構造來討論和的大小，得，求導，得. 由函數在上是增函數，且曲線在上連續不斷知： 在， 上恒成立，分兩段討論即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵，

∴，

①當時，

在時， ，在時， ，

故在上是減函數，在上是增函數；

②當時，

在時， ，在時， ，

故在上是增函數，在上是減函數；

（Ⅱ）（1）對求導，得，

設直線與曲線切于點，則

解得，∴；

（2）記函數 ， ，

求導，得，

當時， 恒成立，

當時， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上單調遞減．

又， ，

曲線在[1，2]上連續不間斷，

∴由函數的零點存在性定理及其單調性知，唯一的∈（1，2），使．

∴當時， ＞0，當時， ＜0．

∴當時， =

求導，得

由函數在上是增函數，且曲線在上連續不斷知：

在， 上恒成立．

①當時， ≥0在上恒成立，

即在上恒成立，

記， ，則， ，

當 變化時， ， 變化情況列表如下：

		3
		0
		極小值

∴min= 極小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②當時， ，

當時， 在上恒成立，

綜合①②知，當時，函數在上是增函數．

故實數的取值范圍是．