Question

【題目】已知函數，.

（1）討論的單調性；

（2）若對任意，都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上，是減函數,當時，在上，是減函數,在上，是增函數；（2）

【解析】

求出函數的定義域，函數的導數，通過a的范圍討論，判斷函數的單調性即可．（2）

對任意x＞0，都有f（x）＞0成立，轉化為在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函數的導數求解函數的最值即可．

（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）

又

當a≤0時，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數

當a＞0時，由f′（x）=0得：或（舍）

所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是減函數

在上，f′（x）＞0，f（x）是增函數

（2）對任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0

由（1）知：當a≤0時，在（0，+∞）上f（x）是減函數，

又f（1）=2a﹣2＜0，不合題意

當a＞0時，當時，f（x）取得極小值也是最小值，

所以：

令（a＞0）

所以：

在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函數又u（1）=0

所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，

故：a的取值范圍為[1，+∞）