Question

【題目】已知圓，直線．

（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）若，求的值；

（3）當取最小值時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）把直線方程整理為，則該直線過定點，它在圓的內部，從而直線與圓總有兩個不同的交點．（2）由可以得到弦心距，利用圓心到直線的距離公式可求出．（3）若弦最短時，則，故可由的斜率求出求的斜率，最后求得的直線方程．

解析：（1）證明：直線可化為：直線恒過點，將代入可得： ，即在圓內部，故對，直線與圓總有兩個不同的交點．

（2），圓的半徑為： ，圓心到直線的距離為，故，解得．

（3）由（1）可得時，弦最短時，直線的斜率，即，故此時直線的方程為，即，此時圓心到直線的距離，故．