Question

【題目】已知f（x）=x2﹣ （x≠0，常數a∈R）．
（1）討論函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（x）在（﹣∞，﹣2]上為減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=x2，

對任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=f（x），∴f（x）為偶函數．

當a≠0時，f（x）=x2﹣ （a≠0，x≠0），取x=±1，

得f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，

∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），

∴函數f（x）既不是奇函數，也不是偶函數，

綜上，當a=0時，f（x）為偶函數；

當a≠0時，函數f（x）既不是奇函數，也不是偶函數

（2）解：f′（x）=2x+ ，

要使函數f（x）在x∈（﹣∞，﹣2]上為減函數，

則有f′（x）≤0在（﹣∞，﹣2]時恒成立，

即2x+ ≤0恒成立，

即a≤﹣2x3對x∈（﹣∞，﹣2]恒成立，

故a≤16

【解析】（1）通過討論a=0和a≠0，結合函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性即可；（2）求出函數的導數，問題轉化為a≤﹣2x3對x∈（﹣∞，﹣2]恒成立，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．