Question

【題目】給定直線，拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)在直線上．

（1）求拋物線的方程

（2）若的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)， 的重心恰是拋物線的焦點(diǎn)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）32；（2）

【解析】試題分析：（1）拋物線的焦點(diǎn)在軸上，又在上，利用這個(gè)關(guān)系可以求出，故拋物線的方程為．（2）先求出的坐標(biāo)，利用的中心為求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)差法求出的斜率，從而求出的直線方程．

解析：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)在 軸上，且其坐標(biāo)為，∴，故，拋物線的方程為．

（2）由（1）知：拋物線的方程是， ，又∵點(diǎn)在拋物線上，且，∴，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則由點(diǎn)是的重心得：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，則由得： ，解之得： ，∴．設(shè)，，則由點(diǎn)在拋物線上得： ，兩式相減得： ，又由點(diǎn)為線段 的中點(diǎn)得， ．∴直線的方程為，即．