Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，直線與拋物線相切于點(diǎn)，連接交拋物線于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn).

（1）若，求直線的方程；

（2）求三角形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1），（2）16

【解析】

(1)求得,再設(shè)直線的方程,聯(lián)立拋物線方程令二次方程求解即可.

(2)設(shè)切線的方程為,,,根據(jù),,三點(diǎn)共線求得,再化簡求得到直線的距離,進(jìn)而表達(dá)出三角形面積,再利用基本不等式的方法求最小值即可.

（1）由得,

設(shè)直線的方程為,

由得,

因?yàn)橹本�與拋物線相切,故,解得.

故所求直線的方程,即.

（2）設(shè)切線的方程為,,,

又由,,三點(diǎn)共線,故,,,

化簡可得,,

,

由得,

因?yàn)橹本�與拋物線相切,故,即,

故直線的方程為,,

因此點(diǎn)到直線的距離為

,

由得,,,

故,

所以

等號成立當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.

此時三角形面積的最小值為16.