Question

【題目】已知橢圓：， 過點的直線：與橢圓交于M、N兩點（M點在N點的上方），與軸交于點E.

（1）當且時，求點M、N的坐標；

（2）當時，設，，求證：為定值，并求出該值；

（3）當時，點D和點F關于坐標原點對稱，若△MNF的內切圓面積等于，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）M(0，1)，N (，)；（2）為定值3（3）

【解析】

（1）代值聯立方程組．解得即可求出，

（2）聯立方程，利用韋達定理，以及向量的知識可得從而，化簡整理即可證明，

（3）假設存在直線l：y＝k（x+1）滿足題意，則△MNF的內切圓的半徑為，根據韋達定理，弦長公式，三角形的面積公式，即可求出k的值

解：(1) 當m=k=1時，聯立，解之得：或，

即M(0，1)，N (，)；

(2) 當m=2時聯立，消去y得：，

設M(x1，y1)，N (x2，y2)，則，

由，，且點的橫坐標為0，

得、. 從而

=

=，

為定值3；

(3) 當m=3時，橢圓：，假設存在直線滿足題意，則△的內切圓的半徑為，又、為橢圓的焦點，故△MNF的周長為8，

從而，

消去，得，設、，

則.

故，即.

由(2)，得，

化簡，得，解得，

故存在直線滿足題意．