Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性.

（2）試問是否存在，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 存在；的取值范圍為.

【解析】

（1），，

所以得，所以通過對與的大小關系進行分類討論得的單調性；

(2)假設存在滿足題意的的值，由題意需，所以由(1)的單調性求即可；

又因為對恒成立，所以可以考慮從區間內任取一個值代入，解出的取值范圍，從而將的范圍縮小減少討論.

解：（1），.

當時，，在上單調遞增

當時，，在上單調遞減，在上單調遞增

當時，在上單調遞減，在，上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在，上單調遞增.

（2）假設存在，使得對恒成立.

則，即，

設，則存在，使得，

因為，所以在上單調遞增，

因為，所以時即.

又因為對恒成立時，需，

所以由（1）得：

當時，在上單調遞增，所以，

且成立，從而滿足題意.

當時，在上單調遞減，在，上單調遞增，

所以

所以（*）

設，，則在上單調遞增，

因為，

所以的零點小于2，從而不等式組（*）的解集為，

所以即.

綜上，存在，使得對恒成立，且的取值范圍為.