Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓交于兩點，則在軸上是否存在一個定點使得直線的斜率互為相反數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，也請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）據題意，得 ，求解方程組確定a,b的值即可求得橢圓方程；

（2）據題設知點，當直線的斜率存在時，設直線的方程為．與橢圓方程聯立，結合韋達定理有． 假設存在點M滿足題意，則，結合韋達定理求解實數m的值即可；然后討論斜率不存在的情況即可確定定點M存在.

（1）據題意，得

解得，

所以橢圓的標準方程為．

（2）據題設知點，當直線的斜率存在時，設直線的方程為．

由，得．

設，則．

設，則直線的斜率分別滿足．

又因為直線的斜率互為相反數，

所以，

所以，所以，

所以，

所以，所以．

若對任意恒成立，則，

當直線的斜率不存在時，若，則點滿足直線的斜率互為相反數．

綜上，在軸上存在一個定點，使得直線的斜率互為相反數．