Question

【題目】二次函數f（x）的對稱軸是x=-1，f（x）在R上的最小值是0，且f（1）=4．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）若g（x）=（λ-1）f（x-1）-λx-3在x∈[-1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或1＜λ≤2

【解析】

（1）由已知可設f（x）=a（x+1）2，結婚f（a）=4可求a，進而可求f（x），（2）由（1）可求g（x），然后結合二次函數的性質，考慮開口方向及對稱軸與區間[-1，1]的位置關系進行分類討論可求．

（1）二次函數f（x）的對稱軸是x=-1，f（x）在R上的最小值是0，

故可設f（x）=a（x+1）2，

∵f（-1）=4a=4

∴a=1，f（x）=（x+1）2

（2）∵g（x）=（λ-1）f（x-1）-λx-3=（λ-1）x2-λx-3，

①λ=1時，g（x）=-x-3在[-1，1]上是減函數，舍去，

②λ＞1時，g（x）=（λ-1）x2-λx-3x∈[-1，1]上是增函數，

則，

解可得，1＜λ≤2；

③λ＜1時，g（x）=（λ-1）x2-λx-3x∈[-1，1]上是增函數，

則，

解可得，，

綜上可得，或1＜λ≤2