Question

【題目】已知函數f（x）=（x∈（-1，1）），有下列結論：

（1）x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；

（2）m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有兩個不等實數根；

（3）x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；

（4）存在無數多個實數k，使得函數g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三個零點

則其中正確結論的序號為______．

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

（1）根據函數奇偶性的定義判斷函數是奇函數即可；

（2）先判斷函數|f（x）|是偶函數，令m=0可判斷結論錯誤；

（3）根據分式函數的性質及復合函數的單調性，可判斷結論正確；

（4）先判斷函數g（x）是奇函數，由函數的表達式可知x=0是它的一個零點，然后討論當x∈（0，1）時，函數一定存在一個零點（），再由奇函數的性質可知，當x∈（-1，0）時，一定存在另一個零點（），可判斷結論正確。

（1）因為f（x）=（x∈（-1，1）），

所以f（-x）=

即函數為奇函數，

所以f（-x）+f（x）=0在x∈（-1，1）恒成立．所以（1）正確；

（2）因為f（x）=（x∈（-1，1））為奇函數，

所以|f（x）|為偶函數，

當x=0時，|f（0）|=0，

所以當m=0時，方程|f（x）|=m只有一個實根，不滿足題意，所以（2）錯誤．

（3）當x∈[0，1）時，f（x）=，

令，x∈[0，1），則t∈(0，1]，

因為函數在區間[0，1）單調遞減，

而函數，在區間(0，1]單調遞減，

所以函數f（x）=，在區間[0，1）單調遞增。

故x∈[0，1）時，f（x）f（0）=0，

因為函數f（x）在（-1，1）上是奇函數，

所以當x∈[-1，0）時，f（x）單調遞增，且f（x）f（0）=0，

綜上可知，函數f（x）=在（-1，1）上單調遞增，

即x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）成立，故（3）正確.

（4）由g（x）=f（x）-kx=0，即，

當x=0時，顯然成立，即x=0是函數的一個零點，

當x∈（0，1）時，，解得，令，解得

即（）是函數的一個零點，

由于g（-x）= f（-x）+kx=- f（x）+kx=-（f（x）-kx）=- g（x），

即g（x）是（-1，1）上的奇函數，

故在區間（-1，0）上一定存在（）是函數的另一個零點，

所以（4）正確

故（1），（3），（4）正確．

故答案為：（1），（3），（4）