Question

【題目】甲、乙、丙三支球隊進行某種比賽，其中兩隊比賽，另一隊當裁判，每局比賽結束時，負方在下一局當裁判．設各局比賽雙方獲勝的概率均為 ，各局比賽結果相互獨立，且沒有平局，根據抽簽結果第一局甲隊當裁判
（1）求第四局甲隊當裁判的概率；
（2）用X表示前四局中乙隊當裁判的次數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：第一局無論誰輸，第二局都由甲隊上場，第四局甲隊當裁判（記為事件A），

第三局甲隊參加比賽（不能當裁判）且輸掉（記為事件A2），可知第二局甲隊參加比賽且獲勝（記為事件A1），

∴A1和A2都發生，A才發生，即P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）= ．

（2）解：由題意S的所有可能取值為0，1，2，

記“第三局乙丙比賽，乙勝丙”為事件A3，“第一局比賽，乙勝丙”為事件B1，

“第二局乙甲比賽，乙勝甲”為事件B2，“第三局比賽乙參加比賽，乙負”為事件B3，

∴P（X=0）=P（B1B2A3）=P（B1）P（B2）P（A3）= ，

P（X=2）=P（ ）=P（ ）P（B3）= ，

P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2
P

∴E（X）= = ．

【解析】（1）第一局無論誰輸，第二局都由甲隊上場，第四局甲隊當裁判（記為事件A），第三局甲隊參加比賽（不能當裁判）且輸掉（記為事件A2），可知第二局甲隊參加比賽且獲勝（記為事件A1），A1和A2都發生，A才發生，由此能求出第四局甲隊當裁判的概率．（2）由題意S的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．