Question

【題目】設f(x)＝ln x，g(x)＝x|x|.

(1)求g(x)在x＝－1處的切線方程；

(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的單調區間；

(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1>x2，都有m[g(x1)－g(x2)]>x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析；(3) .

【解析】試題分析：（1）通過求導得到切線方程x－y＋＝0；（2）F(x)＝xln x－x2(x>0)，得到單調區間(0，＋∞)上遞減；（3）構造h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xln x，則h(x)在(0，＋∞)上為單調遞增，故h′(x)＝mx－ln x－1≥0恒成立，即m≥恒成立，m≥1。

試題解析：

(1)x<0時，g(x)＝－x2，g′(x)＝－x，

故g(－1)＝－，g′(－1)＝1，

故g(x)在x＝－1處的切線方程是：y＋＝1×(x＋1)，

即x－y＋＝0.

(2)由題意知F(x)＝xln x－x|x|＝xln x－x2(x>0)，

F′(x)＝ln x－x＋1，令t(x)＝F′(x)＝ln x－x＋1，

則t′(x)＝－1，

令t′(x)>0，解得0<x<1，令t′(x)<0，解得x>1，

故F′(x)在(0，1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，

故F′(x)≤F′(1)＝0，

故F(x)在(0，＋∞)上遞減；

(3)已知可轉化為x1>x2≥1時，mg(x1)－x1f(x1)≥mg(x2)－x2f(x2)恒成立，

令h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xln x，

則h(x)在(0，＋∞)上為單調遞增的函數，

故h′(x)＝mx－ln x－1≥0恒成立，即m≥恒成立，

令m(x)＝，則m′(x)＝－，

∴當x∈[1，＋∞)時，m′(x)≤0，m(x)單調遞減，

m(x)≤m(1)＝1，即m≥1，

故實數m的取值范圍是[1，＋∞).