Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若為的極值點，求的值；

（Ⅱ）若在單調遞增，求的取值范圍．

（Ⅲ）當時，方程有實數根，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ） ；（Ⅲ）0．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)求導可得，結合題意可知，據此可得，經驗證滿足題意，即的值為0；

(Ⅱ) 在單調遞增，則在區間上恒成立，分類討論：①當時，符合題意；②當時，由的定義域可知： ，若，不滿足條件，則，討論可得，綜上所述， 的取值范圍為；

(Ⅲ)當時，方程轉化成 ，

令，構造函數， ， 在上單調遞增；在上單調遞減；結合題意計算可得的最大值為0．

試題解析：

（Ⅰ），求導， ，

由為的極值點，則，即，解得： ，

當時， ，

從而為函數的極值點，成立，

∴的值為0；

（Ⅱ）在單調遞增，則 ，

則在區間上恒成立，

①當時， 在區間上恒成立，

∴在區間上單調遞增，故符合題意；

②當時，由的定義域可知： ，

若，則不滿足條件在區間上恒成立，

則，

則，對區間上恒成立，

令，其對稱軸為，

由，則，

從而在區間上恒成立，

只需要即可，

由，解得： ，

由，則，

綜上所述， 的取值范圍為；

（Ⅲ）當時，方程，轉化成，

即 ，令，

則在上有解，

令， ，

求導，

當時， ，故在上單調遞增；

當時， ，故在上單調遞減；

在上的最大值為，

此時， ，

當時，方程有實數根，則的最大值為0．