Question

【題目】在數列中，若是整數，且（，且）.

（Ⅰ）若， ，寫出的值；

（Ⅱ）若在數列的前2018項中，奇數的個數為，求得最大值；

（Ⅲ）若數列中， 是奇數， ，證明：對任意， 不是4的倍數.

Answer 1

【答案】(1) ， ， .(2) 前2018項中奇數的個數的最大值是1346.(3)詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）將， 代入遞推關系求解的值即可；

（Ⅱ）討論都是偶數時， 都是奇數時， 是奇數， 是偶數時， 是偶數， 是奇數時四種情況即可得解；

（Ⅲ）由是奇數，分析得前4項沒有4的倍數，假設存在最小正整數，使得是4的倍數，則均為奇數，所以一定是偶數，結合遞推關系即可推出矛盾，進而得證.

試題解析：

（Ⅰ），

，

.

所以， ， .

（Ⅱ）（i）當都是偶數時， 是偶數，代入得到是偶數；

因為是偶數，代入得到是偶數；

如此下去，可得到數列中項的奇偶情況是偶，偶，偶，偶，…

所以前2018項中共有0個奇數.

（ii）當都是奇數時， 是奇數，代入得到是偶數；

因為是偶數，代入得到是奇數；

因為是偶數，代入得到是奇數；

如此下去，可得到數列中項的奇偶情況是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…

所以前2018項中共有1346個奇數.

（iii）當是奇數， 是偶數時，

理由同（ii），可得數列中項的奇偶情況是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…

所以前2018項中共有1345個奇數.

（iv）當是偶數， 是奇數時，

理由同（ii），可得數列中項的奇偶情況是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…

所以前2018項中共有1345個奇數.

綜上所述，前2018項中奇數的個數的最大值是1346.

（Ⅲ）證明：因為是奇數，

所以由（Ⅱ）知， 不可能都是偶數，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三種情況.

因為是奇數，且，所以也是奇數.

所以為偶數，且不是4的倍數.

因為，

所以前4項沒有4的倍數，

假設存在最小正整數，使得是4的倍數，

則均為奇數，所以一定是偶數，

由于，且，

將這兩個式子作和，可得.

因為是4的倍數，所以也是4的倍數，

與是最小正整數使得是4的倍數矛盾.

所以假設不成立，即對任意， 不是4的倍數.