Question

【題目】已知函數f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對數的底數).

(1)判斷函數f(x)的單調性與奇偶性；

(2)是否存在實數t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析.(2)t＝－.

【解析】(1)∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函數，

y＝－x是增函數，∴f(x)是增函數．

由于f(x)的定義域為R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數．

(2)由(1)知f(x)是增函數和奇函數，

∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R恒成立

f(x2－t2)≥f(t－x)對一切x∈R恒成立

x2－t2≥t－x對一切x∈R恒成立

t2＋t≤x2＋x對一切x∈R恒成立

2≤對一切x∈R恒成立

2≤0t＝－.

即存在實數t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x都成立．