Question

【題目】已知函數（且）

（1）若，求函數的單調區間；

（2）當時，設，若有兩個相異零點，求證： .

Answer 1

【答案】(1) 當時，函數的單調增區間是，單調減區間是，當時，函數的單調增區間是，單調減區間是.(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）由知分， 兩種情況討論即得解；（2），設的兩個相異零點為，設，因為， ，所以， ，相減得，相加得.要證，即證，即，即，換元設上式轉化為.構造函數

求導研究單調性即可得證.

試題解析：

（1）由知

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是，

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是.

（2），設的兩個相異零點為，

設，

∵， ，

∴， ，

∴， .

要證，即證，

即，即，

設上式轉化為.

設，∴，∴在上單調遞增，

∴，∴，∴.