Question

【題目】如圖，菱形與等邊所在的平面相互垂直， ，點E，F分別為PC和AB的中點．

（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（I）設的中點，連結和，由中位線定理可得，從而四邊形為平行四邊形， ，由線面平行的判定定理可得結論；（Ⅱ）由為等邊三角形得，由四邊形為菱形，可得，從而平面，進而可得結論；（Ⅲ）根據“等積變換”可得，由面面垂直的性質可得平面，∴為三棱錐的高，根據棱錐的體積公式可得結果.

試題解析：（Ⅰ）取PD的中點G，連結GE和GA，

則， ∴

∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴

∵平面PAD,EF平面PAD

∴EF∥平面PAD

（Ⅱ）取中點，連結，

因為為等邊三角形，所以．

因為四邊形為菱形，所以，

又因為，所以為等邊三角形，

所以．

因為，所以平面，

因為平面，所以．

（Ⅲ）連結FC，∵PE=EC，∴

∵四邊形為菱形，且，

∴

∵平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，

∴為三棱錐的高．

∴，

∴．

∴

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.