Question

【題目】已知函數，a∈R.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若f(x)在(1,2)上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或或

【解析】試題分析：(1)求導，討論的取值，研究導數的符號變換得到函數的單調區間；(2)通過研究所給區間和前一問的單調區間的關系進行求解．

試題解析：(1)f(x)的定義域為{x|x≠a}．f′(x)＝.

①當a＝0時，f′(x)＝1，

則f(x)的單調遞增區間為(－∞，0)，(0，＋∞)．

②當a>0時，由f′(x)>0，得x>2a或x<0，

此時0<a<2a；由f′(x)<0，得0<x<a或a<x<2a，

則f(x)的單調遞增區間為(2a，＋∞)，(－∞，0)，

單調遞減區間為(0，a)，(a,2a)．

③當a<0時，由f′(x)>0，得x>0或x<2a，此時2a<a<0；由f′(x)<0，得2a<x<a或a<x<0，

則函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，2a)，(0，＋∞)，單調遞減區間為(2a，a)，(a,0)．

(2)①當a≤0時，由(1)可知，f(x)在(1,2)上單調遞增，滿足題意；

②當0<2a≤1，即0<a≤時，由(1)可知，f(x)在(2a，＋∞)上單調遞增，即在(1,2)上單調遞增，滿足題意；

③當1<2a<2，即<a<1時，由(1)可得，f(x)在(1,2)上不具有單調性，不滿足題意；

④當2a＝2，即a＝1時，由(1)可知，f(x)在(a,2a)上單調遞減，即在(1,2)上單調遞減，滿足題意；

⑤當1<a<2時，因為f(x)的定義域為{x|x≠a}，顯然f(x)在(1,2)上不具有單調性，不滿足題意；

⑥當a≥2時，由(1)可知，f(x)在(0，a)上單調遞減，即在(1,2)上單調遞減，滿足題意．

綜上所述，a≤或a＝1或a≥2.