Question

求曲線y=

x

（0≤x≤4）上的一條切線，使此切線與直線x=0，x=4以及曲線y=

x

所圍成的平面圖形的面積最小．

Answer 1

設（x₀，y₀）為曲線y=

x

（0≤x≤4）上任一點，得曲線于該點處的切線方程為：y-y0=

1

2 x0

(x-x0)即y=

y0

2

+

x

2 x0

．
得其與x=0，x=4的交點分別為(0，

y0

2

)，(4，

y0

2

+

2

y0

)
于是由此切線與直線x=0，x=4以及曲線y=

x

所圍的平面圖形面積為：S=

∫

40

(

y0

2

+

x

2 x0

-

x

)dx=2y0+

4

x0

-

16

3

=2

x0

+

4

x0

-

16

3

應用均值不等式求得x₀=2時，S取得最小值．
即所求切線即為：y=

x

2 2

+

2

2

．