Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）若，求函數的極值；

（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）若，設函數在上的極值點為，求證： .

Answer 1

【答案】(1)當時， 的極大值為，無極小值；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求導，利用導函數的符號變化得到函數的單調性，進而得到函數的極值；（2）求導，將函數在某區間上單調遞增轉化為導函數非負恒成立，分離參數，構造函數，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題；（3）連續兩次求導，分別通過研究導函數的符號變化研究函數的極值，再作差構造函數，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，再利用求導進行求解.

試題解析：（1）當時， ，定義域為，

，令，得.

		極大值

當時， 的極大值為，無極小值.

（2），由題意對恒成立.

， ，

對恒成立，

對恒成立.

令， ，則，

①若，即，則對恒成立，

在上單調遞減，

則， ， 與矛盾，舍去；

②若，即，令，得，

當時， ， 單調遞減，

當時， ， 單調遞增，

當時， ，

.綜上.

（3）當時， ， ，

令， ，

則 ，令，得，

①當時， ， 單調遞減， ，

恒成立， 單調遞減，且.

②當時， ， 單調遞增，

又 ，

存在唯一，使得， ，

當時， ， 單調遞增，

當時， ， 單調遞減，且，

由①和②可知， 在單調遞增，在上單調遞減，

當時， 取極大值.

， ，

，

又， ， .